Lösung:

von: Ansgar Schiffler

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Die Funktionsgleichung hat die Form y = f(x) = ax³ + bx² + cx +d

1. d = 45 bedeutet, dass der Graph die y-Achse bei y = 45 schneidet, also oberhalb der x-Achse.

2. a = 1 > 0 bedeutet, dass der Graph von links unten kommt und nach rechts oben verschwindet.

3. b= 8 > 0 bedeutet, dass sich der y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse) in einer Linkskurve (zunehmende Steigung) befindet. Der gesamte Graph besteht nur aus einer Rechtskurve, die im Wendepunkt in eine Linkskurve übergeht. (Funktionen dritten Grades haben immer genau einen Wendepunkt.)

4. c = 10 > 0 bedeutet, dass die Steigung des Graphen im y-Achsenabschnitt positiv ist. Da der y-Achsenabschnitt in einer Linkskurve liegt (siehe 3), muss sich der lokale Tiefpunkt links von der y-Achse befinden.

5. Es stellt sich noch die Frage, ob der lokale Tiefpunkt unterhalb der y-Achse liegt. Wir machen einfach eine Probe mit x = -1 und x = -2.

f(-1) = (-1)³ + 8 ·(-1)² + 10 · (-1) + 45 =  -1 + 8 - 10 + 45 = 42.

f(-2) = (-2)³ + 8 ·(-2)² + 10 · (-2) + 4 5 =  -8 + 32 - 20 + 45 = 49.

Der Graph nimmt in Richtung negativer x-Werte (wenn wir uns von der y-Achse aus gesehen nach links bewegen) erst nur wenig ab und steigt dann wieder an. Der lokale Tiefpunkt liegt also oberhalb der x-Achse.  Erst wenn sich der Term x³ "durchsetzt",  werden die Funktionswerte wieder kleiner. Es gibt also nur eine einzige Nullstelle. 

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