Lösung:

von: Ansgar Schiffler

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b = 2 ; b = -4  ; b = - 6  ; b = -10

Die Funktionsgleichung hat die Form y = f(x) = ax⁴ + bx² + c

1. Da nur gerade Exponenten auftreten, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

2. c = 9 bedeutet, dass der Graph die y-Achse bei y = 9 schneidet, also oberhalb der x-Achse.

3. a = 1 > 0 bedeutet, dass der Graph von links oben kommt und nach rechts oben verschwindet.

4. 

b > 0 (hier b = 2) bedeutet, dass alle Funktionswerte größer oder gleich 9 sind, denn es wird zu 9 immer etwas Positives hinzuaddiert. Auch wenn für x negative Werte eingesetzt werden, "verschwindet" das Vorzeichen Minus durch das Quadrieren bzw. durch den Exponenten 4. Der Graph hat also keine Nullstellen.

b < 0

Wenn b relativ klein ist, wird der Graph in der Umgebung der y-Achse zwar fallen, aber nie unterhalb der x-Achse liegen. Der Term x⁴ setzt sich durch, bevor der Graph weit genug fällt. Der Graph hat also keine Nullstellen. In obigem Beispiel ist b = -4.

Wenn b relativ groß ist, wird der Graph in der Umgebung der y-Achse so stark fallen, dass er die y-Achse schneidet. Letztendlich wird sich natürlich der Term x⁴ durchsetzen und der Graph wird wieder ansteigen und somit erneut die x-Achse schneiden. Der Graph hat also vier Nullstellen. In obigem Beispiel ist b = -10

Es gibt auch ein b, für das der Graph die x-Achse lediglich berührt, aber nicht schneidet. Dies ist für b = - 6 der Fall. Der Graph hat dann zwei Nullstellen, genau genommen zwei doppelte Nullstellen.

 Hinweis: Niemand wird von Ihnen erwarten, dass Sie auf einen Blick sehen, für welche b der Graph wie viele Nullstellen hat. Was Sie allerdings sofort sehen sollten, ist dass der Graph für positive Werte für b keine Nullstelle hat und dies auch gilt, wenn b nur geringfügig kleiner als 0 ist.  Wenn b immer kleiner gewählt wird, gibt es irgendwann zwei Nullstellen und bei noch kleineren Werten für b dann vier Nullstellen. 

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