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Lösung: von: Ansgar Schiffler
Die Funktionsgleichung hat die Form y = f(x) = ax3 + bx² + cx +d 1. d = -10 bedeutet, dass der Graph die y-Achse bei y = -10 schneidet, also unterhalb der x-Achse. 2. a = -0,8 < 0 bedeutet, dass der Graph von links oben kommt und nach rechts unten verschwindet. 3. b= 6,5 > 0 bedeutet, dass sich der y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse) in einer Linkskurve (zunehmende Steigung) befindet. Der gesamte Graph besteht nur aus einer Linkskurve, die im Wendepunkt in eine Rechtskurve übergeht. (Funktionen dritten Grades haben immer genau einen Wendepunkt.) 4. c = -8 < 0 bedeutet, dass die Steigung des Graphen im y-Achsenabschnitt negativ ist. Da der y-Achsenabschnitt in einer Linkskurve liegt (siehe 3), muss sich der lokale Tiefpunkt rechts von der y-Achse befinden. 5. Es stellt sich noch die Frage, ob der Graph rechts vom lokalen Tiefpunkt die y-Achse schneidet, ob es also positive x-Werte gibt, für die die Funktionswerte positiv sind. Wir machen einfach eine Probe mit x = 4. f(4) = -0,8 · 4³ + 6,5 · 4² - 8 · 4 - 10 = -51,2 + 104 -32 - 10 = 10,8 . Also weist der Graph rechts von der y-Achse zwei weitere
Nullstellen auf. Hinweis: Dass zwei weitere Nullstellen auftreten,
ist ohne den Graphen zu zeichnen nicht so einfach zu erkennen. Statt mit x
= 4 hätte man zunächst auch die Probe mit x = 2 machen können und
hätte dann f(2) = -6,4 erhalten. Dieses Ergebnis hätte keine weiteren
Erkenntnisse geliefert. Erst die Probe mit x = 3 hätte mit f(3) = 2,9
gezeigt, dass der lokale Hochpunkt oberhalb der x-Achse liegt, es also
zwei weitere Nullstellen rechts von der y-Achse gibt.
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