Übungsaufgaben zum Horner-Schema

von: Ansgar Schiffler

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Bestimmen Sie die Nullstellen der Graphen der folgenden Funktionen.

a.) y = f(x) = 2x³ + 7x² + 2x - 3

Wir müssen erst durch Probieren eine Nullstelle finden.

x = 1

x = 2

x = -1

Wir haben also eine Nullstelle bei x = -1 gefunden. Wir könnten nun folgende Polynomdivision durchführen:

(2x³ + 7x² + 2x - 3) : ( x + 1)

Diese Division brauchen wir jedoch nicht durchzuführen, weil das Ergebnis sozusagen als Nebenprodukt des Horner-Schemas mitgeliefert wird. Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile. Es gilt: 

2x³ + 7x² + 2x - 3 = ( x + 1) · ( 2x² + 5x - 3)

Wir erhalten also die Gleichung: ( x + 1) · ( 2x² + 5x - 3) = 0.

Zur Erinnerung: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

2x² + 5x - 3 = 0  | : 2                x² + 2,5x - 1,5 = 0   

Mit Dezimalzahlen anstelle von Brüchen: 

Das sind also die Nullstellen: N₁(-1|0)  ; N₂(-3|0)  ;   N₃(0,5|0)

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b.) y = f(x) = 0,5x³ + 0,3x² - 6,68x - 10,08

Wir müssen erst durch Probieren eine Nullstelle finden.

x = 1

x = 2

x = 3

x = 4

Wir haben also eine Nullstelle bei x = 4 gefunden. Wir könnten nun folgende Polynomdivision durchführen:

(0,5x³ + 0,3x²  -6,68x - 10,08) : ( x - 4)

Diese Division brauchen wir jedoch nicht durchzuführen, weil das Ergebnis sozusagen als Nebenprodukt des Horner-Schemas mitgeliefert wird. Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile. Es gilt: 

0,5x³ + 0,3x²  -6,68x - 10,08 = ( x - 4) · ( 0,5x² + 2,3x +2,52)

Wir erhalten also die Gleichung: ( x - 4) · (0,5x² + 2,3x +2,52) = 0.

Zur Erinnerung: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

0,5x² + 2,3x +2,52 = 0  |  · 2                x² + 4,6x + 5,04 = 0   

Das sind also die Nullstellen: N₁(4|0)  ; N₂(-2,8|0)  ;   N₃(-1,8|0)

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c.) y = f(x) = 3x³ + 2,4x² - 6,39x + 1,62

Wir müssen erst durch Probieren eine Nullstelle finden.

x = 1

x = 2

x = -1

x = -2

Wir haben also eine Nullstelle bei x = -2 gefunden. Wir könnten nun folgende Polynomdivision durchführen:

(3x³ + 2,4x²  -6,39x - 1,62) : ( x  + 2)

Diese Division brauchen wir jedoch nicht durchzuführen, weil das Ergebnis sozusagen als Nebenprodukt des Horner-Schemas mitgeliefert wird. Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile. Es gilt: 

3x³ + 2,4x²  -6,39x - 1,62 = ( x  + 2) · ( 3x² -3,6x +0,81)

Wir erhalten also die Gleichung: ( x  + 2) · ( 3x² -3,6x +0,81) = 0.

Zur Erinnerung: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

3x² -3,6x +0,81 = 0  |  : 3                x² -1,2x + 0,27 = 0   

Das sind also die Nullstellen: N₁(-2|0)  ; N₂(0,3|0)  ;   N₃(0,9|0)

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d.) y = f(x) = x³ - 7,2x² + 13,92x -7,04

Wir müssen erst durch Probieren eine Nullstelle finden.

x = 1

x = 2

Wir haben also eine Nullstelle bei x = 2 gefunden. Wir könnten nun folgende Polynomdivision durchführen:

(x³ -7,2x²  +13,92x - 7,04) : ( x  - 2)

Diese Division brauchen wir jedoch nicht durchzuführen, weil das Ergebnis sozusagen als Nebenprodukt des Horner-Schemas mitgeliefert wird. Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile. Es gilt: 

x³ -7,2x²  +13,92x - 7,04 = ( x  - 2) · ( x² -5,2x +3,52)

Wir erhalten also die Gleichung: ( x  - 2) · ( x² -5,2x +3,52) = 0.

Zur Erinnerung: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

x² -5,2x +3,52 = 0  

Das sind also die Nullstellen: N₁(2|0)  ; N₂(0,8|0)  ;   N₃(4,4|0)

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e.) y = f(x) = x⁴ +14,5x³ + 46,5x² + 13x - 20

Bestimmen Sie alle Nullstellen des Funktionsgraphens der Funktion f(x).

Hinweis: Es sind diese beiden Nullstellen gegeben: x₁ = –1 und x₂ = – 4.

x = – 1

Ergebnis:

x⁴ +14,5x³ + 46,5x² + 13x – 20 = (x + 1) · (x³ + 13,5x² + 33x – 20)

x = – 4

Ergebnis:

x³ + 13,5x² + 33x – 20 = (x + 4) · (x² + 9,5x – 5)

Wir können den Funktionsterm f(x) = x⁴ +14,5x³ + 46,5x² + 13x – 20

also so darstellen: f(x) = (x + 1) · (x + 4) · (x² + 9,5x – 5)

(x + 1) · (x + 4) · (x² + 9,5x – 5) = 0

x₁ = –1 ; x₂ = – 4.

x² + 9,5x – 5 = 0

x₃ = – 4,75 – 5,25 = – 10

x₄ = – 4,75 + 5,25 = 0,5

Das sind also die Nullstellen:

N₁(– 10|0)  ; N₂(– 4|0)  ;   N₃(–1 |0)  ;  N₄(0,5 |0) 

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