Die Scheitelpunktform der Parabel

von: Ansgar Schiffler

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Der Graph der Funktion y = f(x) = x2 + 4x + 5 ist eine Parabel. 

Was lässt sich anhand dieser Funktionsgleichung über die Lage der Parabel aussagen? 

1. Die Parabel ist nach oben geöffnet und sie ist weder gestreckt noch gestaucht! Dies erkennt man an dem Faktor 1 vor dem x². 

2. Die Parabel schneidet die y-Achse im Punkt P(0|5). Um den Schnittpunkt eines Graphens mit der y-Achse zu bestimmen, setzen Sie die Zahl 0 in die Funktionsgleichung ein. f(0) = 0² + 4 0 + 5 = 5.

Weitere Erkenntnisse über die Lage der Parabel sind nicht unmittelbar aufgrund der Funktionsgleichung getroffen werden. Insbesondere lässt sich nicht sofort erkennen, wo sich der Scheitelpunkt der Parabel befindet.  

Die Lage des Scheitelpunktes lässt sich nur dann unmittelbar anhand der Parabelgleichung bestimmen, wenn diese in Scheitelpunktform vorliegt. Zur Erinnerung: die Scheitelpunktform der Parabelgleichung lautet: y = f(x) = a(x - b)2 + c . Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten S(b|c). (Die Parabel ist gegenüber der Normalparabel um b nach rechts und um c nach oben verschoben).

Um den Scheitelpunkt der Parabel zu bestimmen, werden wir die Parabelgleichung auf Scheitelpunktform bringen. 

Hierzu sind die folgenden Schritte erforderlich:

1. Quadratische Ergänzung vornehmen

y = f(x) =  x² + 4x + 5 = x² + 4x + 4 - 4 + 5

Warum haben wir + 4 - 4 ergänzt? Wir können  x² + 4x + 4  als  (x + 2)² schreiben. Daher haben wir die Zahl + 4 ergänzt. Damit wir den Term nicht verändern, müssen wir zum "Ausgleich" auch - 4 ergänzen. Und wie kommt man auf die + 4? Ganz einfach: Sie halbieren die Zahl 4 und erhalten die Zahl 2. Diese Zahl quadrieren Sie und erhalten 2² = 4.

2. Die binomische Formel anwenden:

y = f(x) = x² + 4x + 4 - 4 + 5 = (x + 2)² - 4 + 5 = (x + 2)² + 1

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten S(-2|1).

Der Graph dieser Parabel ist hier zu sehen: 

Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-2|1), nach oben geöffnet, weder gestaucht noch gestreckt, Schnittpunkt mit der y-Achse im Punkt P(0|5).

       

Hier zwei weitere Beispiele:

1.  y = f(x) = x² + 10x + 14

 

Um die quadratische Ergänzung vorzunehmen, wird 10 halbiert, wir erhalten 5. Diese Zahl wird quadriert, wir erhalten also 5² = 25. Es ist also mit + 25 - 25 zu ergänzen.

 

y = f(x) = x² + 10x + 25 - 25 + 14 = (x + 5)² - 25 + 14 = (x + 5)² - 11

 

Die Koordinaten des Scheitelpunktes: S(-5|-11)

 

2.  y = f(x) = x² - 14x + 52

Um die quadratische Ergänzung vorzunehmen, wird -14 halbiert, wir erhalten -7. Diese Zahl wird quadriert, wir erhalten also (-7)² = 49. Es ist also mit + 49 - 49 zu ergänzen.

y = f(x) = x² - 14x + 49 - 49 + 52 = (x - 7)² - 49 + 52 = (x - 7)² + 3

Die Koordinaten des Scheitelpunktes: S(7|3)

Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen

Parabelgleichung Scheitelpunktform Scheitelpunkt
a.) y = f(x) = x² + 8x + 7 y = f(x) = (x + 4)² - 9 S(-4|-9)
b.) y = f(x) = x² - 6x + 10 y = f(x) = (x - 3)² + 1 S(3|1)
c.) y = f(x) = x² - 16x + 80 y = f(x) = (x - 8)² + 16 S(8|16)
d.) y = f(x) = x² + 2x + 6 y = f(x) = (x + 1)² + 5 S(-1|5)
e.) y = f(x) = x² - 3x + 3,5 y = f(x) = (x - 1,5)² + 1,25 S(1,5|1,25)
f.) y = f(x) = x² + 5x + 6 y = f(x) = (x + 2,5)² - 0,25  S(-2,5|-0,25)

Achtung! Eventuell ist Ihnen aufgefallen, dass bisher nur Parabeln untersucht wurden, die nach oben geöffnet sind und weder gestaucht noch gestreckt sind. Falls eine Parabel nicht diese Eigenschaften hat, muss bei der Bestimmung der Scheitelpunktnormalform noch ein Rechenschritt ergänzt werden.

Wir betrachten hierzu die Parabelgleichung y = f(x) = 2x² + 12x + 22

1. Schritt: Den Faktor vor dem x² aus den ersten beiden Termen ausklammern

y = f(x) = 2(x² + 6x) + 22

2. Schritt: Die quadratische Ergänzung vornehmen

y = f(x) = 2(x² + 6x + 9 - 9) + 22

3. Schritt: Die binomische Formel anwenden

y = f(x) = 2(x² + 6x + 9) -2 9 + 22 = 2(x + 3)² - 18 + 22 = 2(x + 3)² + 4

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten S(-3|4).

      

Zwei weitere Beispiele: 

1. y = f(x) = -0,5x² - 4x - 6 = -0,5(x² + 8x) - 6 = -0,5(x² + 8x + 16 - 16) - 6 

      = -0,5(x² + 8x + 16) - 0,5 (-16) - 6  = -0,5(x + 4)² + 8 - 6 =  -0,5(x + 4)² + 2

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten S(-4|2)

Hier ist die Parabel zu sehen:

2. y = f(x) = 0,5x² - 2x + 4,5 = 0,5(x² - 4x) + 4,5 = 0,5(x² - 4x + 4 - 4) + 4,5

      = 0,5(x² - 4x + 4) + 0,5 (-4) + 4,5 = 0,5(x - 2)² -2 + 4,5 = 0,5(x - 2)² + 2,5

 Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten S(2|2,5) 

Hier ist die Parabel zu sehen:

 

Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen

Parabelgleichung Scheitelpunktform Scheitelpunkt
a.) y = f(x) = 4x² + 16x + 22 y = f(x) = 4(x + 2)² + 6 S(-2|6)
b.) y = f(x) = 3x² + 6x - 2 y = f(x) = 3(x + 1)² - 5 S(-1|-5)
c.) y = f(x) = 0,2x² + 2x + 8 y = f(x) = 0,2(x + 5)² + 3  S(-5|3)
d.) y = f(x) = 0,5x² - 4x + 7 y = f(x) = 0,5(x - 4)² - 1  S(4|-1)
e.) y = f(x) = -0,5x² + 6x + 22 y = f(x) = -0,5(x - 6)² + 40  S(6|40)
f.) y = f(x) = -2x² - 20x - 39 y = f(x) = -2(x + 5)² + 11  S(-5|11)

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