Übungsaufgaben zur Zinsrechnung

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a.) Jemand legt heute 4.000.- € zu 4,8% Zinsen an. Nach wie vielen Jahren wird sein Guthaben auf 5.056,69 € angewachsen sein?

b.) Jemand legt 7.000.- € an. Nach 4 Jahren ist das Guthaben bei konstantem Zinssatz auf 8.094,93 € angewachsen. Bestimmen Sie den Zinssatz!

c) Jemand zahlt dreimal 2.800.- € auf sein Konto ein: sofort, nach einem Jahr und nach zwei Jahren. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung hat er insgesamt (mit Zinseszins) 340,48 € Zinsen erhalten. Berechnen Sie den Zinssatz.

d.) Jemand zahlt dreimal den gleichen Geldbetrag B auf sein Konto ein: sofort, nach zwei Jahr und nach sechs Jahren. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich sein Kontostand auf 9.785,38 €. Bestimmen Sie B, wenn der Zinssatz 4,5% beträgt. Wie viele Zinsen hat er insgesamt (incl. Zinseszins erhalten) ?

e.) Jemand zahlt sofort 2.500.- € ein und nach n Jahren zahlt er weitere 3.550.- € ein. Der Zinssatz beträgt 5%. Nach insgesamt 9 Jahren beläuft sich sein Guthaben auf 8.635,66 €. Bestimmen Sie n.

f.) Jemand zahlt 1.800.- € ein. Der Zinssatz beträgt 3%. Nach vier Jahren wird der Zinssatz erhöht. Zum gleichen Zeitpunkt zahlt er 2.200.- € ein. Nach insgesamt neun Jahren beträgt sein Guthaben 5.241,11 €. Um wie viele Prozentpunkte wurde der Zinssatz erhöht? Wie viele Zinsen hat er insgesamt erhalten?

g.) Ein Guthaben in Höhe von 2.800.- € wird mit 7% verzinst, ein zweites Guthaben in Höhe von 3.710,44.- € wird mit 3,3% verzinst. Nach wie vielen Jahren sind beide Guthaben auf den gleichen Betrag angewachsen?

h.) Ein Kapital in Höhe von 5.000.- € wird zunächst ein Jahr lang mit den Zinssatz p verzinst. Dann steigt der Zinssatz um zwei Prozentpunkte an. Nach einem weiteren Jahr ist das Kapital auf 5.512 € angewachsen. Bestimmen Sie p.

i.) Ein Kapital in Höhe von 5.500.- € wird zunächst ein Jahr lang mit den Zinssatz p verzinst. Dann steigt der Zinssatz um ein Fünftel an. Nach einem weiteren Jahr ist das Kapital auf 5.994,56 € angewachsen. Bestimmen Sie p.

j.) Jemand zahlt dreimal Geld auf sein Konto ein: Ganz am Anfang den Betrag B, drei Jahre später das Doppelte des Betrags B und weitere fünf Jahre später 60% des Betrags B. Der Zinssatz beträgt am Anfang 6% und verringert sich zwei Jahre nach der zweiten Einzahlung auf 3%. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich der Kontostand auf 7.861,13 €. Bestimmen Sie B.

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Übungsaufgaben zur Zinsrechnung aus einer Klassenarbeit

1. Aufgabe

Ein Kapital in Höhe von 1500 € wird zunächst drei Jahre lang mit 5% verzinst und dann mit 6,2% verzinst. Das Kapital beträgt dann 2.645,64 €.     Wie lange wurde das Kapital mit 6,2% verzinst?

 

2. Aufgabe

Mit wie viel Prozent muss ein Kapital verzinst werden, damit es sich innerhalb von sieben Jahren verdoppelt. Geben Sie Ihr Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet an.

 

3. Aufgabe

Person A zahlt 1.400.- € ein, die mit 5% verzinst werden. Person B zahlt 1.140 € ein, die mit 7% verzinst werden. a.) Wie viele Zinsen hat Person A nach vier Jahren mehr bzw. weniger erhalten als Person B?

b.) Vergleichen Sie diese Zinsen auch in Prozent.   c.) Welchen Zinssatz müsste Person A erhalten, damit beide nach 4 Jahren gleich viele Zinsen erhalten haben?  d.) Wie viele Zinsen wird Person B mehr erhalten haben als Person A, wenn beide Guthaben auf den gleichen Betrag angewachsen sind?

 

4. Aufgabe

Jemand zahlt den Betrag B auf sein Konto ein. Der Zinssatz beträgt zunächst 4% und steigt nach drei Jahren auf 6% an. Ein Jahr nach der Zinserhöhung zahlt er die Hälfte des Betrags B ein. Nach weiteren zwei Jahren ist sein Kapital auf 1.787,44 € angewachsen. Wie hoch sind die beiden eingezahlten Beträge?

 

5. Aufgabe

Jemand zahlt am Anfang 1000.- € ein, nach einem Jahr 1300.- € und nach zwei Jahren 1.600.- € ein. Unmittelbar nach der dritten Einzahlung beläuft sich sein Kapital auf 4.170,40 €.

a.) Bestimmen Sie den Zinssatz.     b.) Wie viele Zinsen hat er insgesamt erhalten?

 

6. Aufgabe

Person A zahlt 1.070.- € ein, die mit 3% verzinst werden. Person B zahlt vier Jahre später 836,73 € ein, die mit 8,5% verzinst werden. Nach wie vielen Jahren haben beide Personen das gleiche Kapital angespart? Wie hoch ist dieses Kapital?  

 

7. Aufgabe

Ein Kapital in Höhe von 2.000.- € wird zunächst ein Jahr lang mit den Zinssatz p verzinst. Dann werden 2.800.- € eingezahlt und gleichzeitig steigt der Zinssatz um 1,8 Prozentpunkte an. Nach einem weiteren Jahr ist das Kapital auf 5.177,04 € angewachsen. Bestimmen Sie den im ersten Jahr gültigen Zinssatz p.

 

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Weitere Aufgaben mit Lösungen

 

1.) Jemand zahlt dreimal 3.000.- € auf sein Konto ein: sofort, nach einem und nach zwei Jahren. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich sein Kontostand auf 9.272,70 €. Berechnen Sie den Zinssatz.   Zur Lösung

 

2.) Jemand zahlt dreimal den gleichen Geldbetrag B auf sein Konto ein: sofort, nach einem Jahr und nach zwei Jahren. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich sein Kontostand auf 15.608 €. Bestimmen Sie B, wenn der Zinssatz 4% beträgt.  Zur Lösung

 

3.) In welcher Zeit wächst ein Guthaben von 3.000€ auf 3.906,78€ an, wenn die Verzinsung 4,5% beträgt?

Zur Lösung

 

4.) Jemand zahlt sofort 2.000.- € ein und nach n Jahren zahlt er weitere 4.000.- € ein. Der Zinssatz beträgt 5%. Nach insgesamt 8 Jahren beläuft sich sein Guthaben auf 8.060,04 €. Bestimmen Sie n. Zur Lösung

 

5.) Das erste Guthaben in Höhe von 7.000.- € wird mit 6% verzinst, das zweite Guthaben in Höhe von 8.468,83.- € wird mit 4% verzinst. Nach wie vielen Jahren sind beide Guthaben auf den gleichen Betrag angewachsen? Zur Lösung

 

6.) Ein Kapital in Höhe von 2.000.- € wird zunächst ein Jahr lang mit den Zinssatz p verzinst. Dann steigt der Zinssatz um1,5 Prozentpunkte an. Nach einem weiteren Jahr ist das Kapital auf 2215,40 € angewachsen. Bestimmen Sie p. Zur Lösung

 

7.) Jemand zahlt drei mal 2.400.- € auf sein Konto ein: sofort, nach zwei und nach vier Jahren. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich sein Kontostand auf 7.787,73 €. Bestimmen Sie den Zinssatz! 

Zur Lösung

 

8.) Jemand zahlt drei mal auf sein Konto ein: Ganz am Anfang den Betrag B, zwei Jahre später das doppelte des Betrags B und weitere vier Jahre später 80% des Betrags B. Der Zinssatz beträgt am Anfang 4% und erhöht sich zwei Jahre nach der zweiten Einzahlung auf 5%. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich der Kontostand auf 8.412,43, €. Bestimmen Sie B. Zur Lösung

 

 

Lösungen

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1. Jemand zahlt dreimal 3.000.- € auf sein Konto ein: sofort, nach einem Jahr und nach zwei Jahren. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich sein Kontostand auf 9.272,70 €. Berechnen Sie den Zinssatz.

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Hinweis:  x ist der Aufzinsfaktor. Z.B. entspricht x = 1,05 ein Zinssatz in Höhe von 5%. Es gilt: x = 1 + p/100

3.000 · x2  + 3.000  · x  + 3000 = 9.272,70   | -9.272,90  | : 3000

x² + x - 2.0909 = 0

=

x1 = - 0,5 - 1,53 = - 2,03 < 0.   Kommt als Lösung nicht in Frage, da x < 0.

x2 = - 0,5 + 1,53 =  1,03.     Also ist p = 3.

Der Zinssatz beträgt 3%.

2. Jemand zahlt dreimal den gleichen Geldbetrag B auf sein Konto ein: sofort, nach einem Jahr und nach zwei Jahren. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich sein Kontostand auf 15.608 €. Bestimmen Sie B, wenn der Zinssatz 4% beträgt

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B · 1,04² + B · 1,04 + B =  15.608

B· (1,04² + 1,04 + 1) = 15.608  | : (  )

B = 5.000

Die Höhe des Betrags beläuft sich auf 5.000.- €-

3. In welcher Zeit wächst ein Guthaben von 3.000€ auf 3.906,78€ an, wenn die Verzinsung 4,5% beträgt?

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3.000 ·1,045x  = 3.906,78  | : 3000

1,045x  = 1,30226   | lg

x = = 6.    Das Guthaben wächst innerhalb von 6 Jahren auf 3.906,78 € an.

4.) Jemand zahlt sofort 2.000.- € ein und nach n Jahren zahlt er weitere 4.000.- € ein. Der Zinssatz beträgt 5%. Nach insgesamt 8 Jahren beläuft sich sein Guthaben auf 8.060,04 €. Bestimmen Sie n.

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Hinweis: Wenn der Betrag in Höhe von 4.000.- € nach n Jahren eingezahlt wird, dann wird dieser Betrag 8 - n Jahre verzinst.

2.000 ·1,058  + 4.000 ·1,05 8-n = 8.060,04  | - 2.000 ·1,058  

4.000 ·1,05 8-n = 5.105,529  | :4000

1,05 8-n =  1,27638   | lg

8 - n =  = 5  | +n | - 5

n = 3.   Der Betrag in Höhe von 4.000.- € wurde nach 3 Jahren eingezahlt.

5.) Das erste Guthaben in Höhe von 7.000.- € wird mit 6% verzinst, das zweite Guthaben in Höhe von 8.468,83.- € wird mit 4% verzinst. Nach wie vielen Jahren sind beide Guthaben auf den gleichen Betrag angewachsen?

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7.000 ·1,06n  =  8.468,83 ·1,04n  | : 7.000 | : 1,04n  

    | lg

n = = 10   Nach 10 Jahren sind beide Guthaben auf den gleichen Wert angewachsen.

 

6.) Ein Kapital in Höhe von 2.000.- € wird zunächst ein Jahr lang mit den Zinssatz p verzinst. Dann steigt der Zinssatz um1,5 Prozentpunkte an. Nach einem weiteren Jahr beträgt ist das Kapital auf 2215,40 € angewachsen. Bestimmen Sie p.

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Hinweis:  x ist der Aufzinsfaktor. Z.B. entspricht x = 1,05 ein Zinssatz in Höhe von 5%. Es gilt: x = 1 + p/100

2.000 · x · (x + 0,015) = 2.215,40   | -2.215,40

2.000x² + 30x - 2.215,40 = 0   | : 2000

x² + 0,015 - 1,1077 = 0

=

x1 = - 0,0075 - 1,0525 = - 1,06 < 0.   Kommt als Lösung nicht in Frage, da x < 0.

x2 = - 0,0075 + 1,0525 =  1,045.     Also ist p = 4,5.

Der anfängliche Zinssatz beträgt 4,5%. Er wird dann auf 6% erhöht.  

 

7.) Jemand zahlt drei mal 2.400.- € auf sein Konto ein: sofort, nach zwei und nach vier Jahren. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich sein Kontostand auf 7.787,73 €. Bestimmen Sie den Zinssatz!

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Hinweis:  x ist der Aufzinsfaktor. Z.B. entspricht x = 1,05 ein Zinssatz in Höhe von 5%. Es gilt: x = 1 + p/100

2.400 · x4  + 2.400  · x2    + 2.400 = 7.787,73   | - 7.787,73   | : 2.400

x4  +  x2    - 2,2448866 = 0         Substitution mit x² = z     z4  +  z2    - 2,2448866 = 0        

 

z1 = - 0,5 - 1,57952 = -2,07952 < 0.   Kommt als Lösung nicht in Frage, da z < 0.

z2 = - 0,5 + 1,57952 =  1,07952.    

Rücksubstituion  mit z = x²

x² = 1,07952   

     

x1 = - 1,039.   Kommt als Lösung nicht in Frage, da x < 0.

z1 = 1,039.

Der Zinssatz beträgt 3,9%.

Hinweis:  Sie sollen nur das Endergebnis runden, jedoch nicht die Zwischenergebnisse. Sie können gerne auch x² = 1,0795 schreiben, aber Sie müssen mit dem exakten, gespeicherten Wert weiterrechnen.

 

8.) Jemand zahlt drei mal auf sein Konto ein: Ganz am Anfang den Betrag B, zwei Jahre später das doppelte des Betrags B und weitere vier Jahre später 80% des Betrags B. Der Zinssatz beträgt am Anfang 4% und erhöht sich zwei Jahre nach der zweiten Einzahlung auf 5%. Unmittelbar nach der letzten Einzahlung beläuft sich der Kontostand auf 8.412,43, €. Bestimmen Sie B.

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B: Am Anfang eingezahlter Betrag in €.

B · 1,044  · 1,052  + 2 · B · 1,042 · 1,052   + 0,8· B = 8.412,43   | T

B · (1,044  · 1,052  + 2 · 1,042 · 1,052   + 0,8 ) = 8.412,43   | : (  )

B = 1.880,00    

Am Anfang wurden 1.880 € eingezahlt, nach zwei Jahren 3.760 € (das Doppelte) und nach sechs Jahren wurden 1.504 € eingezahlt (80% von 1.880 €).

Hinweis:   Das Ergebenis sollen Sie auf einen cent auf- bzw. abrunden. Das Ergebnis auf sechs Stellen nach dem Komma genau lautet: B = 1879,999893. Hier sollten Sie also um 0,107 cent nach oben aufrunden auf 1.880,00 €.

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